特定テーマに限定したWikiを立ち上げる必要もなく、ブログの様に私見をまとめる必要もない、
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対数に関するメモ。
用語、記法
| e | ネイピア数 | |
| exp x | e^x | exponentional 指数関数 |
| lg x | log 2 x | logarithm 二進対数 ２を底とする対数 |
| ln x | log e x | logarithm natural 自然対数 |
| log x | log 10 x 文脈によってlog 2 xを指す場合もある。 |
logarithm 常用対数 |
対数
y = log a x
| a | 底 |
| x | 真数 |
底を何乗すれば真数になるのか？と言うこと。
低のy乗が真数。
| y = a^x | x = log a y | |
| a | 底 | 底 |
| x | 指数 | 対数 |
| y | 真数 | 真数 |
M^k = Nとすると、log M^k = log N。
底が10の場合、常用対数表より、
| log 10 1 | log 10 2 | log 10 3 | ... | log 10 9 | log 10 10 |
| 0 | 0.3010 | 0.4771 | ... | 0.9542 | 1 |
対数を利用する意味
計算を簡単にできる。
- 掛け算を足し算にする。
- 累乗を掛け算にする。
例題１
２の100乗は何桁の数？
その数の先頭３桁はいくつか？
底を10とする。
10の何乗が2^100なのか？→10の掛け算で、2^100の桁数が分かる。
| log 2^100 = | 100 * log 2 |
| 100 * 0.3010 | |
| 30.10 |
10 ^ 30は31桁。→2の100乗は31桁の数。
| 2 ^ 100 = | 10 ^ 30.10 |
| 10 ^ 0.103 * 10 ^ 30 |
0.103を常用対数表で調べる。
| 0.1004 | 1.26 |
| 0.1038 | 1.27 |
1.26 ≦ 10 ^ 0.103 ＜ 1.27→２の100乗の先頭３桁は126。
例題２
10年で +200 %の経済成長を見込むには、何年で +100 %の経済成長をする必要があるか？
-
- 200%成長とは、現在の現在の経済規模が３倍になるということ。
- 100%成長とは、現在の経済規模が２倍になるということ。
経済成長率 = x
経済規模が２倍になる年数 = y
10年で経済規模が3倍になる。→x ^ 10 = 3
y年で経済規模が２倍になる。→x ^ y = 2
| log 10 x^10 = | log 10 3 |
| 10 * log x = | log 10 3 |
| log x = | (log 10 3) / 10 |
| 0.04771 |
常用対数表より
log 10 3 = 0.4771
| log 10 x^y = | log 10 2 |
| y * log x = | log 10 2 |
| y = | (log 10 2) / (log 10 x) |
| 0.3010 / 0.04771 | |
| 6.3089 |
常用対数表より
log 10 2 = 0.3010
